通信の速度限界

ディジタル通信の速度限界 Maximum speed of digital transmission

テキストの目次

帯域幅とＳＮＲ（信号対雑音比）が与えられたとき、
誤りなしに伝送可能な
ディジタル通信の最高速度はどれだけでしょうか？
ただし、
雑音は信号と同じ帯域であり、定常的なＡＷＧＮ（加法的白色ガウス雑音）とする。

注１：　周期定常の場合はこのページの議論は当てはまらない。具体例についてはロバスト伝送を参照。
注２：　誤りなしの符号化問題については通信路の符号化を参照。

伝送方式の優劣をいうとき、よく引き合いに出される尺度として通信路容量があります。　これはまた、情報通信の参考書でも、概念の理解のために中心的なものとして必ず登場します。　しかし、こういった教科書的な基本概念が、そのまま、新しい方式、ＣＤＭＡやスペクトル拡散やＵＷＢ (Ultra Wide Band) などのプレゼンテーションなどで用いられ、報道機関は神のご宣託のように納得し、本当の意味が理解できないままＷｅｂニュースなどに流れてしまい、結果としていろんな神話を広げてしまいます。

頻繁に登場する図式として次の二つがあります。

まずは、これらの出所について見てみしましょう。

Fig.1 は（実）アナログ信号を対象にしています。　あくまでも、信号と信号の差を普通の電圧差（ユークリッド距離）で評価していることを念頭においてください。　Fig.1 の通信路容量は、送信信号が連続的な値をとり、これに雑音が加算された結果、受信者は送信値に関してどれだけの情報（ビット／秒）を得るかという尺度です。　それが帯域幅に比例することは、標本化定理から容易に理解できます。　もう一つの変数ＳＮＲについては、もし無限大にすることができば、通信路容量が無限大になります。　実際には、送信電力は、法律的な規制やネットワーク構成の技術的理由から制限されます。
そもそも、アナログ情報源のエントロピーは、量子化を前提に定義されました（アナログ信号のエントロピー参照）。　そこでは、まずアナログ値の確率分布を量子化によって離散近似し、そして量子化を無限に細かくした極限としてエントロピーを定義しようとしました。　極限をとると発散しますが、その発散は量子化だけの項に依存するので、その項を省いて情報量が定義されていました。　このような定義が正当かどうかは、なかなか理解できないことですが、エントロピーの引き算を扱う場合は量子化に依存する項が相殺されて、”形式的には”正当性をもちます。　通信路容量は、この相殺されるケースです。　結果として、送信電力と雑音電力の比が与えられれば、通信路容量を

によって評価できます（Fig.1）。　この場合、信号も雑音も連続的なガウス分布にしたがいます。　このアナログ通信路容量がディジタル通信路容量とどのように対応するかについてはなにも触れていません。　それは、次のようなポイントです。

ビットの量子化レベルを
そのままパルス振幅（レベル数＝）として伝送したとします。
雑音が加わるとレベル判定が誤ります。
これは個のシンボルを伝送するモデルであり、通信路容量の定義は明白です。
では、このモデルで計算した通信路容量は上の公式を与えるでしょうか？

上の公式の変数はＳＮＲであり、シンボル伝送の通信路容量の計算（Fig.2）では変数は誤り率です。　信号をガウス分布とすれば、両者は一致しそうですが、でも完全に一致するかどうかは怪しいです。

以下に、量子化情報をディジタル通信（”０”と”１”の）する実際的なシステムの通信路容量を Fig.2 を使って計算しておきます。　Fig.2 は、２値データを送信したときの、通信路容量を与えるものです（通信路容量参照）。　ディジタル通信を高速化するファクターは二つです。　第一は、前述の標本化定理の限界速度でパルスを送ること。　第二は、パルスのレベル（振幅値）を多くして、一個のパルスに多くの情報を乗せることです。　このファクターがディジタル通信の速度限界を与える鍵になります。　次の前提を置きます。

（１）　多値パルス系列は独立
（２）　雑音系列も独立
（３）　パルス系列と雑音系列は無相関

これらの前提の下では、以下の結果は、Ｍ元伝送（多重化する場合はＣＤＭＡ）やＯＤＦＭにそのまま当てはまります。　その理由については、最尤（ゆう）系列推定や最大事後確率推定を参照してください。

パルスのレベル数（ )を増せば伝送速度はいくらでも上げられる。
しかし、
ＳＮＲが一定のもとでは、レベル間の距離が縮まり、誤りが増大し、
そして、通信路容量（）は下がる。
誤りゼロを保証する伝送速度はであるが、
これは単調に増大するのか？
それとも、
どこかに最大値があるのか？

この問題は、Fig.2 のモデルを多値伝送に拡張すれば計算できます。　といっても、見通しの良い理論は得られません。　問題を複雑にする点は、各レベルに符号を割り付けて、ハミング距離を評価しなければならないことにあります。　この割付いかんによって、誤りのハミング距離が違ってくるからです。　現実のモデムに含まれる伝送符号のブロック図を下に示します。

レベル判定の誤りは、グレー復号器でビット誤りに反映し、そのビット誤りは差動復号器で拡大され、デスクランブラーで更に拡大されます。　通常、誤り訂正の符号器は、scrambler と serial to parallel の間、復号器は parallel to serial と descrambler の間に挿入されます。　ここでは、グレー復号のみを考慮に入れて、誤りの平均ハミング距離を計算して通信路容量を求めてみます。　伝送符号の原理に関しては、差動・グレー符号を参照してください。　以下に数値計算の手順とその結果を示します。

Step1.　SNR を与える。

Step2.　多値数を与える。