・・・・+1 ?1 ?1 +1 ?1 +1 ・・・・・

だとします。　このとき、反転したデータ列

・・・・-1 +1 +1 ?1 +1 ?1 ・・・・・

も実際に送られた可能性があり、どちらが正しいか判断できないということです。　実際、信号がチャンネルを通過する過程で電気的な極性は頻繁に反転されると考えなくてはなりません。　この自由度を解決するには、１ を送るならば一つ前のデータを反転し、０ を送るならば一つ前のデータを反転しないものとし、極性反転に情報を乗せればいいわけです。　では、４値データ、-1.5, -0.5, 0.5, 1.5  volt の場合、極性の自由度をどのようにして避ければいいでしょうか？　これに答えるのが差動符号です。　まず、８レベルの場合について差動符号の原理を説明します。 音声や画像が圧縮符号化され、スクランブルされ、誤り訂正符号化されて、送るべきビット列が出てきます。　このビット列を８通りのパルス振幅で送りますから、３ビットづつ区切って、パラレルにします。　３ビットとパルスの高さとの対応を、たとえば次のように定めてみます。　この対応は、３ビットパラレルを１０進で読むと、下から ０，１，２，３，４，５，６ となっています。

この対応では、左端のビット は振幅値の極性を表していますから、これについて差動符号をかければよいことがわかります。　送信側では、次のルールでプリコーディングします。

この式は直前のパルスの極性を によって反転または非反転することに相当します。　受信側では、パルスのレベル判定をし、上の対応表から３ビットを得ます。　この先頭ビットは、もし極性反転を起こしていれば０ と１ が入れ替わっています。　これを で表し、

を計算して正確に が得られます。　差動符号およびその復号のブロック図は下のようです。

次にグレー符号について説明します。　受信側でパルスの高さを判定するときの誤りのほとんどは、すぐ隣の振幅値を判定する場合です。　３ビットと８つの振幅値の対応を最初の図のようにすると、-2.5 volt を -1.5 volt に誤って判定したときは２ビット誤ります。　さらに、-0.5 volt を 0.5 volt に判定すると３ビットすべてが誤りになってしまいます。　もし、どの隣接振幅値への誤りも１ビットに抑えることができれば、ビット列としての誤りは最小ですみます。　これに答えるのが、グレー符号です。　作り方は、以下のように極めてシステマティックです。
まず、左端の２値から出発し、これを負側に平行移動（緑色の矢印）して、正側に鏡面対称で折り返します（オレンジ色の矢印）。　こうすると正側と負側のビット誤りは生じません。　そして正側と負側にそれぞれ極性ビットを加えると４値のグレー符号ができます。　この操作を繰り返すことによって、２のベキ乗の多値シンボルのグレー符号が生成できます。

差動符号とグレー符号を同時に実現するには、上のブ差動符号と復号のブロック図において、ビットパターンとパルス振幅値の変換表をグレー符号と振幅値の変換表に変更すれば済みます。

ディジタル通信の変調方式としてQAMが広く採用されていますが、この場合のシンボル配置は2次元です。　同期検波の出力では位相回転の自由度が残ります。　自由度の残り方はシンボル配置に依存しますが、ここでは方形配置について差動グレー符号の作り方を説明します。　方形配置のQAMでは、同相データと直交データをそれぞれ独立に送ります。　このとき、受信側では、０度、９０度、１８０度、２７０度の４つの回転は原理的に見分けがつきません。　前述のＡＭ（振幅変調）のケースでは、単に極性反転の自由度だけでしたが、QAMでは４つの回転の自由度が残ります。　差動符号はこの回転の自由度を避けなければなりません。　まずは、簡単な４QAM （４相位相変調）について見てみましょう。　下図左のように、反時計回りに 00, 01, 10, 11 （１０進で０，１，２，３）を割り付けると、グレー符号になりません。　しかし、右図のように、00, 01, 11, 10 （１０進で０，１，３，２） の順番に割り付ければグレーになります。

差動符号化は、これを０、１、２、３ の順に読み替えます。　すなわち、

００＝０
０１＝１
１１＝２
１０＝４

とみなします。　この値を として次のように差動符号を行います。

符号化　　

復号　　　

この結果は、受信信号が９０度、１８０度、２７０度の回転を受けていても不変です。　復号結果 から元のグレー符号を逆引きします。　この４ＱＡＭ から出発して、下図のように、多値QAMの差動・グレー符号を作ることができます。　緑色は平行移動、オレンジ色は鏡面対称の折り返しを表しています。　左端の４相差動グレーを第1象限に移動させ、図のように鏡面対称に折り返してゆきます。　そのあとで、各象限の２ビットに元の４相差動グレー（茶色のビット）を付け足します。　同様の操作を続ければ、６４QAM や２５６QAM の差動グレーを簡単に求めることができます。

QAM の差動・グレー符号と復号のブロック図は下のようになります。

グレー符号によって、一つのシンボル誤りは１ビットの誤りに抑えることができますが、もし先頭２ビットに誤りが含まれると差動復号でビット誤りが２倍に拡大することに注意してください。

ついでに、３D-CG （３次元コンピュータグラフィック）や３D-CV （３次元コンピュータビジョン）などで応用されるかもしれないので、３次元のグレー符号を考えてみましょう。　これは２次元の応用で簡単にできそうです。　下図は立方体の８つの頂点にグレー符号を割り付けたものです。　これをもとに、鏡面対称の折り返しを作って３ビットを加えれば、グレー符号の３次元構造が得られます。