微分（導関数）は

       、

など、いろんな表現があります。　しかし、力学系や電気回路などでは変数が時間なので、因果律 を意識して、

で表現するのが普通ですね。

注１：「物体の速度なんて、所詮は瞬時的な値なんだから、因果律にこだわらんくてもいいじゃん！」と思うかもしれません。　しかし、有限な時間きざみ dt で、信号の微分をタイムラグなしで近似できるかどうかを考えるとき、この概念が重要になってきます。

右辺の差分を遅延作用素

を用いて書くと

なので、周波数特性は下図のようです。　点線は実部、実線は虚部です。　実部と虚部の間には、たしかに ヒルベルト変換

の関係があります。　これを確かめるには、定数のヒルベルト変換はゼロ、 のヒルベルト変換は を用いて計算してみてください。　ちなみに、

は反因果的 （anti-causal、未来だけから現在が決まる）で、周波数特性は複素共役になります。

実部と虚部を のまわりでテイラー展開して、 の様子を調べてみます。　 とおき、

なので、 で実部はゼロ、虚部は に収束することがわかります。　したがって、

 微分の周波数特性は

このように、微分特性は周波数に比例して増幅し、無限に広い帯域をもちます。　 がゼロでなければ実部と虚部はヒルベルト変換の関係にありますが、 では、 のヒルベルト変換は発散して定義できません。

実際には、無限に広い帯域をもつ信号はないので、有限帯域 [-W/2, W/2] Hz を前提に微分をディジタル信号処理で実現する問題を考えましょう。　ＡＤ変換のサンプリング周期を 秒よりも小さくすれば、標本化定理から、帯域 [-W/2, W/2] Hz に制限された信号の情報は失われません。　以下、非因果的（遅延を許す）と因果的を対にしてＦＩＲ 微分器を三つの方法で設計してみます。

　　　　非因果的ＦＩＲ：　
　　　　　　　　　　　　　　　（ は 秒の時間先行を意味する）

　　　　因果的ＦＩＲ：　　　　

注２：　FIR (Finite Impulse Response Digital Filter) は、トランスバーサルタイプの構造をもつフィルターのこと。

＜フーリエ展開法＞
まずは、サンプリング周期を とし、信号成分の４倍の帯域 [-2W, 2W] Hz で、自乗誤差最小の意味でＦＩＲ微分器の周波数特性を に最適近似させます。　こうすれば、中央の信号帯域 [-W/2, W/2] で、十分に良い近似が得られそうです。　この最適解はノコギリ波のフーリエ展開級数

を単にＦＩＲ の長さで打ち切ったにものに一致します。　その理由は、フーリエ級数展開が直交関数展開であるためです。　打ち切りを７次とすれば、ＦＩＲ の重み係数 は

によって得られます。　重み係数の減衰は 1/n であり、７次の打ち切りはかなり無理がありそうです。　このような最適化は、帯域 [-2W, 2W] Hz の全域を占有する信号をも対象にしており、下図に示すように、標本化関数の微分（やはり、1/n のオーダーで減衰）を 1/W 秒周期でサンプルした結果でもあります。

ちなみに、因果的最適解（式（２）の形）を に近似させると、単に非因果的最適解の片側をカットしたもの ( をカット。　 は残る）になります。　以下に、それぞれの係数と周波数特性（以下、点線は実部、実線は虚部）を図示します。　表示範囲は [-2W, 2W]Hz です。

Non-causal FIR filter

Causal FIR filter

上のオレンジ色の因果的ＦＩＲの周波数特性において、実部は、虚部

をヒルベルト変換した結果（帯域は無限に広がる）

を、周期 4Ｗ Ｈｚ で移動重畳した結果

の基本周期 [-2W, 2W] Hz を近似しています。　この特性から判断して、帯域全域では正確な微分が実現できないことがいえます。　ただし、実部は直流近辺でフラットなので、実部を底上げする（ を正の大きな値にして直流近辺の実部をゼロにする）ことによって、狭帯域信号の微分に適用できそうです。　裏を返せば、サンプリング速度をどんどん上げて直流成分を調整すれば、因果的ＦＩＲで微分を近似できるということです。　上のオレンジ色の実部は底上げした結果です。　フーリエ展開法は ギップスのオシレーションで見たように、打ち切りを長くしても虚部のリップルがいつまでも残りそうですね。　特に、狭帯域信号の微分にとっては幅広いリップルは大きなダメージになりそうです。　それに、次数を上げても、展開係数が 1/n でしか減衰しないため、非常に長いフィルターになって実用的ではありません。　

＜時間領域で最適化＞
今度は、もう少し有効な方法を追求してみましょう。　まず、時間領域で最適解を求める式を忠実に書いてみます。

これを解けば最良解が得られそうです。　ここで、 をどんな信号にしたらいいかなんですが、　下図のような感じでやってみます。　対象とする信号 の帯域の端を W/2 Hz とし、　その帯域内をフラットにした（ を透明に通過させるようにした）茶色で示したロールオフフィルター（raised cosine）を考えます。

茶色のスペクトルをもつランダム信号を とし、標本化定理を満たすような適当な速さでサンプリングして、上の最適解を求めます。　ここでは、サンプリングを上図のように 2W Hz の位置にとって（サンプリング速度は 4W sample/sec. となる)、次の連立方程式を解きます。

として、

＜Non-Causal＞

＜Causal＞

実際に、非因果的ＦＩＲを１５次、因果的ＦＩＲを７次として解いた解と、その周波数特性（点線は実部、実線は虚部）を下に示します。　表示範囲は [-2W, 2W] Hz です。　いずれも、 の通過帯域 [-W, W] Hz で微分特性 を実現しています。　ただし、因果的微分の帯域外の増幅はかなり大きくなります。

Non-causal

Causal

＜ロールオフフィルター法＞
次に、非因果的でよければ、もっと簡便な方法があります。　ロールオフ率を とすると、ロールオフフィルターの帯域は

ですが、このフィルターの応答の微分式を求め、それを 4W sample/sec.でサンプリングして非因果的ＦＩＲ を求めれば済みます。　この場合の raised cosine ロールオフの応答は、

ですから、この微分式を求めて、 として、 4W sample/sec.の速さでサンプリングします。　結果は下図の赤い点が非因果的微分ＦＩＲの係数になります。

この周波数特性は下のようになり、帯域 [-W, W] Hz でかなり良い近似を示しています。　ちなみに、片側を単純にカットした因果的ＦＩＲの特性はやっぱりフーリエ展開法と同様に、微分特性を満たしません。　ただし、フーリエ展開法と同様、実部がゼロになるように底上げして（ を適当に調節して）あります。

Non-causal

Causal

＜数値シミュレーション＞
さて、上で示した方法がどれぐらい正確かをチェックしてみましょう。　そのため、下図のように帯域幅 W Hz のマルチパス歪を受けたランダムな連続信号 をアナログ・トランスバーサルフィルターに入力して、本当の微分結果と比較してみます。　タップ間隔は 1/(4W) 秒です。　

最初の黒色のカーブは本当の微分です。　以下、上で用いた色に対応して出力結果を描きます。　本当の微分も、非因果も、因果も、8/(4W) 秒だけ遅延しています。　因果的ＦＩＲの前半７タップはゼロなので、これで因果律が満たされていることがいえます。　シミュレーションモデルの入力信号の生成で、帯域制限フィルターの打ち切り誤差が残ったため、高周波雑音が少し残りました。　時間域最適化法の Causal に大きな雑音が乗っているのは、高域での高い増幅特性が影響したものと思われます。　重要なポイントは、ゼロ交叉時刻（ の極大と極小の時刻）が正確かどうかですが、フーリエ展開法以外では理想微分と正確に一致しています。　最適解は、Mathematica の連立一次方程式を単純に適用しただけなので、高域を抑える工夫はいろいろあります。　７次の打ち切りでは厳しいかもしれないが、次数を上げれば、そえれぞれ精度が上がりそうです。

ideal

Fourier series (non-causal)

Fourier series (causal)

optimum (non-causal)

optimum (causal)

roll-off filter (non-causal)

roll-off filter (causal)

 信号の帯域幅よりも速い速度でサンプリングすれば、
実用に耐えうる因果的微分をディジタルフィルターで実現できました。
しかし、次の疑問に答えたわけではありません。
サンプリング速度を信号帯域幅に近づけたとき、
微分は因果的ＦＩＲで実現可能か？
それとも
非因果的でなければならないか？
 

上の疑問に対しては否定的です。　因果的ＦＩＲ のフーリエ展開法において、帯域端におけるフーリエ級数展開は

になってしまい、これは で発散します。　したがって、標本化定理をぎりぎり満たすようなサンプリング速度では、帯域内の任意の信号の微分を実現できません。　厳密過ぎる議論になってしまいましたが、あくまでも極限での話であって、少し余裕をもってサンプリング定理を満たせば、因果的微分器は十分な精度で実現できます。

＜積分＞
積分に関しては、たとえば、ロールオフフィルター法で考えると、

を実現することになります。　右辺第二項は次のように変形されます。

最後の｛　｝内が非因果的な積分ＦＩＲフィルターの係数を表し、 として下図のようになります。　因果的積分器の設計は、上の微分器の設計に沿って進めることができます。　

注３：　時間領域最適化法では連立一次方程式を解きますが、自己相関行列の固有値の一部が非常に小さいケースになります。　そのまま"Mathematica"で解かせると帯域外の増幅が極端に大きくなってしまいます。　そこで、自己相関行列の対角項に非常に小さい正数を加算して固有値にほんの少しバイアスをもたせることは帯域外増幅を防ぐために有効です。　その他、直交補空間の処理にはいろんなテクニックがありますが、これらについては最小自乗法や数値計算法の参考書で勉強してください。

注４：複素信号の時間微分については、実部と虚部をそれぞれ時間で微分すれば済みます。　もし、複素信号  の複素関数

を複素信号 で微分したい場合は、微分可能ならば、コーシー・リーマン ( Cauchy & Riemann ) の関係式

が成り立っているので、

すなわち、実部 だけで偏微分してよいことになります。　複素信号の実関数は、評価関数として信号処理などで頻繁に登場しますが、これを とすると、単に と  の実関数なので、これを複素信号 で微分することは、 と で微分して複素信号を再構成することを意味します。　したがって、このときの微分は

になります。