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ウェーブレット wavelet |
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１９７０年ごろ、私が目にしたソナグラムは、感熱紙を巻いたドラムが回転し、音声の短時間スペクトルを濃淡で記録するものでした。アナログの帯域フィルタがいっぱい詰まった大きな装置でした。我々の耳の構造も、このような周波数分析をしています。 短時間スペクトルは次のように表現できます。
時々刻々、信号
このような観測ができるためには、 ①任意の伸縮に関してウェーブレットが２乗可積分であること、 ②ウェーブレットは直流成分を含まないこと、が必要です。
ここで、式（２）の左辺
Gaborのウェーブレットは伸縮を連続的に変化できますが、
が互いに直交し、かつ、それらの一次結合で、ほとんどの信号が表現できなければなりません。時間シフト幅は周波数の観測幅に反比例するので、
さて、式（６）のような形をした完備な直交関数系はあるでしょうか？ この問題に最初に解答を出したのが Carsten Mayer （１９６８年、ドイツ 生まれ）でした。その関数の導出はマニアックなので、図３に図解します。
図３ 離散ウェーブレットは、馴染み深い短時間スペクトルと異なり、その結果を見て信号の物理的性質を引き出すことは困難です。図４の音声波形に対する短時間スペクトルとMayerの解析結果を図５に示します。
図４
図５ ウェーブレットについて、革新的なアイデアを出したのは、Ingrid Daubechies （１９５４年、ベルギー 生れ）です。その特長は、有限サポート（ウェーブレットの長さが有限）であり、その構成法が再帰的で、計算プログラムが極めて簡単なことにあります。まさに、計算機時代のスマートな方法です。以下に、構成法の原理を説明します。 スケーリング関数を
この式を満たす有限サポートの 設計手順を、次のように２段階に分けます。
まず第１段階では、次の４つの要件を満たす
式（８）、（９）、（１１）、（１２）の連立システムから、スケーリング系列が次のように得られます。
この係数の定数倍（分母の８など）は本質的ではありません。再帰計算の中に正規化操作を挿入すればよい。 さて、条件２の式（１０）の定義はちょっと奇妙ですが、これによってウェーブレットの伸縮方向の直交性を保証することができます。文章で説明するとイメージが湧かないので、下の図解で直感的に理解してください。
図６ 第２段階のスケーリング関数を求める再帰計算を説明します。計算に先立ち、最も長いスケーリング関数のシフト間隔を決めます。ここでは、１２８とします。以下は再帰計算の手順です（計算過程は図９を参照）。
この再帰演算は、
で求めることに相当します。上のステップ３で正規化されるので、数値的に発散しないで求まります。この再帰計算の結果は（ウェーブレットから離れて！）、初期関数
図７ 図８ 式（１３）のDaubechiesの数列からスタートした結果（スケーリング関数とウェーブレット、そして、ウェーブレットの直交性の確認グラフ）を以下に示します。式（１３）の数列はランダムな関数へ収束しそうな気配ですが、最後のモーメントの条件が連続性にかろうじて効いているようですね。図９に計算過程を示します。
のように表現すると、
（左側一番下のスペクトルの拡大） 図９ 再帰計算の過程を示す図
図１０ 図の一番上のスケーリング関数から、その伸長とウェーブレットを得る操作
図１１ 伸長方向にあるウェーブレットに直交することの数値的確認。 |
を窓関数
で切り取り、この波形をフーリエ変換するという意味をもっています。図１は周波数を変えたときの様子ですが、観測幅（窓関数の幅）が周波数によって不変であることが特徴です。
で観測幅の伸縮を変え、
が大きいほど観測幅が狭くなります。
から、元の信号 
を求める逆変換ができるためには条件が必要です。これについては、
に比例して、観測幅が狭くなっていきます。時間軸と周波数軸の観測幅を同時に小さくすることはで来ません（
と 
を離散化して、信号を効率良く表現する目的には、直交展開の保証がなく不向きです。離散化するには、関数の族
とし、更に、伸縮のルールを２のベキとし、
と書き直すと、式（５）は次のようになります。
で表し、これへの伸長（
から
へのdilation）が４つの時間シフト（偶数なら４以上でもＯＫ！）の一次結合で与えられるとします。なお、一般性を失わないので、
、
としました。
、そして、そのウェーブレットを設計することがテーマです。
が存在するとして、ウェーブレットの要件を満たす 
を求めます。
から、式（７）を満たす 
を再帰計算で求めます。この再帰計算はウェーブレットに関係のない一般的手法です。
を求めます。
のスペクトルの直流成分を１に固定することを意味しています。
から、ウェーブレットを
の位置にしたときの一次モーメントで、ウェーブレットの周波数特性の微分を意味しています。この条件は、周波数特性の微分が直流においてゼロであることを要求しています。物理的に言えば、ウェーブレットのスペクトルの帯域通過性（チューニングの強さ）を要求しています。
の間に、ゼロを１２７個挿入する。
で表す。
とする。
とする。 
の間に 
個のゼロを挿入する。
とする。
と
との積を求め、これを
とする。
の直流値が１になるように正規化する。
ならば、２へ戻る。
ならば、
が求まっているので、これをIFFTしてスケーリング関数を出力する。
を
で表したとき、スケーリング関数のスペクトル
を、
の４つの数列（４次ＦＩＲフィルタ）によって、非常に連続性が高いものや、ほとんどランダムなものに収束します。この操作は、内挿をだんだん細かくする意味をもっているので、ローパス特性が強い数列を選べば、連続的な関数に収束します。例えば、
として上の再帰演算を実行すると、図７のようなカーブが得られます。また、
としてみると、図８のように、ほとんど連続性が認められません。
の中は
なので、スケーリング関数の伸長は
を掛けることになります。Daubechiesでは、
は４つのインパルス列なので、図１０のような簡単な畳み込み計算になります。 図１１はウェーブレットの直交性の数値的確認です。
