ウィーナー・ヒンチンの定理    Wiener-Khintchine

 信号 x(t)周波数分析(短時間フーリエ変換)を離散的に実現したものは下図のようでした。

周波数きざみ df で並べられた共振器の出力、・・・, rn-1(t), rn(t), rn+1(t),・・・ x(t) に含まれるそれぞれの周波数成分でした。 電力スペクトルは、これらの周波数成分の電力(自乗平均)をプロットしたもです。 この概念にそって、

定理 ( Wiener-Khintchine )
 電力スペクトルのフーリエ逆変換は信号 x(t) の自己相関に等しい

を導いてみましょう。 

その前に、x(t) は初等関数で表されるような確定した信号ではなく、確率過程(この場合はエルゴード的で定常)であることを前提にします。 分析すべき信号 x(t) は一つの実現したサンプルですが、それが一定の確率的ルールによって生み出されたものと考えるのです。 

では、具体的に周波数分析

から電力スペクトルを求め、そのフーリエ逆変換を計算してみましょう。 電力スペクトルは

で与えられますが、右辺をもう少し変形すると次のようになります。

ここで、x(t) の自己相関です。 次に、これをフーリエ逆変換します。

ここで、{ }内がデルタ関数 になるので、

が得られます。 このようにして、周波数分析(短時間フーリエ変換)の電力スペクトルから、自己相関の近似が得られることが分かりました。 上の形は、自己相関を包絡線 のコンボリューションを通して見ていることを意味しており、それが自己相関が集中する範囲でフラットならば、小さい歪みで自己相関が観測されることがわかります。